Der gedämpfte harmonische Oszillator

Differentialgleichungen – Kapitel 3

M. Ladecký, L. Pastewka

IMTEK, Universität Freiburg

Lernziele

Die Studierenden sollen…

  • … die Bewegungsgleichung des gedämpften harmonischen Oszillators erläutern und den charakteristischen Ansatz anwenden können.
  • … die drei Dämpfungsregime (Schwingfall, Kriechfall, aperiodischer Grenzfall) unterscheiden und deren physikalische Bedeutung erklären können.
  • … die Resonanzfrequenz und Amplitude erzwungener Schwingungen berechnen können.

Der gedämpfte harmonische Oszillator

  • Eines der wichtigsten Modelle in Physik und Ingenieurwissenschaft
  • Schwingendes System, das Energie durch Reibung/Widerstand dissipiert
  • Bewegungsgleichung:

\[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0 \]

  • \(m\): Masse, \(c\): Dämpfungskoeffizient, \(k\): Federkonstante
  • \(c\dot{x}\): geschwindigkeitsproportionale Dämpfung (viskose Reibung, Luftwiderstand)

Standardform

Division durch \(m\) ergibt die Standardform:

\[ \ddot{x} + 2\gamma\dot{x} + \omega_0^2 x = 0 \]

Zwei charakteristische Parameter:

  • Dämpfungskonstante \(\gamma = \dfrac{c}{2m}\) — Stärke der Dämpfung
  • Eigenfrequenz \(\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\) — Frequenz ohne Dämpfung

Der charakteristische Ansatz

  • Exponentialansatz für lineare DGLs mit konstanten Koeffizienten:

\[ x(t) = e^{\lambda t}, \quad \dot{x} = \lambda e^{\lambda t}, \quad \ddot{x} = \lambda^2 e^{\lambda t} \]

  • Einsetzen und Division durch \(e^{\lambda t} \neq 0\) → charakteristische Gleichung:

\[ \lambda^2 + 2\gamma\lambda + \omega_0^2 = 0 \]

Lösungen der charakteristischen Gleichung

\[ \lambda_{1,2} = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2} \]

  • Das Verhalten hängt vom Vorzeichen der Diskriminante \(\gamma^2 - \omega_0^2\) ab
  • Drei Fälle:
    • \(\gamma < \omega_0\): Schwingfall (komplexe Lösungen)
    • \(\gamma > \omega_0\): Kriechfall (reelle Lösungen)
    • \(\gamma = \omega_0\): aperiodischer Grenzfall (Doppelwurzel)

Schwache Dämpfung (Schwingfall)

  • \(\gamma < \omega_0\): Diskriminante negativ → komplexe Lösungen \[ \lambda_{1,2} = -\gamma \pm i\omega_\mathrm{d}, \qquad \omega_\mathrm{d} = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} \]
  • Gedämpfte Frequenz \(\omega_\mathrm{d}\) liegt unterhalb von \(\omega_0\)
  • Allgemeine Lösung (mit Eulerscher Formel): \[ x(t) = A e^{-\gamma t} \cos(\omega_\mathrm{d} t + \phi) \]
  • Gedämpfte Schwingung: Amplitude \(Ae^{-\gamma t}\) nimmt exponentiell ab
  • \(A\), \(\phi\) aus den Anfangsbedingungen

Starke Dämpfung (Kriechfall)

  • \(\gamma > \omega_0\): Diskriminante positiv → \(\lambda_1, \lambda_2\) reell und negativ

\[ x(t) = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t} \]

  • Beide Exponenten negativ → exponentielles Abklingen ohne Oszillation
  • Das System kehrt monoton zur Ruhelage zurück
  • Dämpfung so stark, dass sie Schwingungen verhindert

Kritische Dämpfung (aperiodischer Grenzfall)

  • \(\gamma = \omega_0\): Diskriminante null → Doppelwurzel \(\lambda_1 = \lambda_2 = -\gamma\)
  • Zweite linear unabhängige Lösung durch Multiplikation mit \(t\):

\[ x(t) = (C_1 + C_2 t)\, e^{-\gamma t} \]

  • Schnellste Rückkehr zur Ruhelage ohne Überschwingen
  • Praktisch erwünscht z.B. bei Stoßdämpfern und Messgeräten

Erzwungene Schwingungen

  • Äußere periodische Kraft → inhomogene DGL: \[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F_0 \cos(\omega t) \]
  • Allgemeine Lösung = homogene Lösung + partikuläre Lösung
    • Homogene Lösung: Eigenschwingung, klingt mit der Zeit ab
    • Partikuläre Lösung: stationäre Schwingung mit Anregungsfrequenz
  • Ansatz für die stationäre Lösung: \[ x_\mathrm{p}(t) = A \cos(\omega t - \phi) \]

Amplitude und Phase

Einsetzen und Koeffizientenvergleich liefert:

\[ A(\omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (2\gamma\omega)^2}} \]

\[ \tan\phi(\omega) = \frac{2\gamma\omega}{\omega_0^2 - \omega^2} \]

  • Amplitude \(A\) und Phasenverschiebung \(\phi\) hängen von der Anregungsfrequenz \(\omega\) ab

Resonanz

  • \(A(\omega)\) hat ein Maximum nahe der Eigenfrequenz \(\omega_0\)
  • Resonanzfrequenz: \[ \omega_{\text{res}} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2} \]
  • Schwache Dämpfung: \(\omega_{\text{res}} \approx \omega_0\), hohes scharfes Maximum
  • Starke Dämpfung: Resonanz kann verschwinden, Amplitude fällt monoton
  • Grenzfall \(\gamma \to 0\): Amplitude bei \(\omega = \omega_0\) → unendlich (ungedämpfte Resonanz)

Resonanz: Phasenverhalten

  • Phase \(\phi\) = zeitliche Verzögerung zwischen Anregung und Antwort
  • Niedrige Frequenzen: System folgt der Anregung fast ohne Verzögerung (\(\phi \approx 0\))
  • Bei der Eigenfrequenz: Phasenverschiebung genau \(90°\)
  • Hohe Frequenzen: \(\phi \to 180°\) — System schwingt gegenphasig zur Anregung

Energiebetrachtung

  • Gesamtenergie aus kinetischer und potentieller Energie: \[ E(t) = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}kx^2 \]
  • Mit der Bewegungsgleichung \(m\ddot{x} = -c\dot{x} - kx\) folgt: \[ \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} = -c\dot{x}^2 \le 0 \]
  • Dissipierte Leistung \(\propto\) Geschwindigkeitsquadrat → Umwandlung in Wärme
  • Erzwungene Schwingung: zugeführte Leistung = dissipierte Leistung → konstante Amplitude

Gütefaktor

\[ Q = \frac{\omega_0}{2\gamma} \]

  • Verhältnis zwischen gespeicherter und dissipierter Energie
  • Hoher Gütefaktor: schwache Dämpfung, scharfes Resonanzmaximum
  • Niedriger Gütefaktor: starke Dämpfung, breites flaches Resonanzmaximum
  • Interpretation: Anzahl der Schwingungen, bis die Amplitude auf \(1/e\) abgefallen ist
  • Schwach gedämpfte Systeme: \(Q \gg 1\)

Beispiele: Schwach gedämpfter Oszillator

\(m = 1\,\text{kg}\), \(k = 100\,\text{N/m}\), \(c = 2\,\text{Ns/m}\), \(x_0 = 0.1\,\text{m}\): \(\omega_0 = 10\,\text{rad/s}\), \(\gamma = 1\,\text{s}^{-1}\) → Schwingfall, \(x(t) = 0.1\, e^{-t}\cos(9.95\,t)\,\text{m}\)

Beispiele: Vergleich der Dämpfungsregime

Gleiche Anfangsbedingungen (\(x_0 = 0.1\,\text{m}\), \(\dot{x}_0 = 0\)), drei Dämpfungen:

Beispiele: Resonanzkurve

Schwach gedämpfter Oszillator unter harmonischer Anregung (\(F_0 = 10\,\text{N}\)):

Je stärker die Dämpfung, desto breiter und flacher das Resonanzmaximum.

Zusammenfassung

  • Bewegungsgleichung \(\ddot{x} + 2\gamma\dot{x} + \omega_0^2 x = 0\); Exponentialansatz führt auf die charakteristische Gleichung \(\lambda^2 + 2\gamma\lambda + \omega_0^2 = 0\)
  • Drei Dämpfungsregime: Schwingfall (\(\gamma < \omega_0\)), Kriechfall (\(\gamma > \omega_0\)), aperiodischer Grenzfall (\(\gamma = \omega_0\))
  • Kritische Dämpfung: schnellste Rückkehr zur Ruhelage ohne Überschwingen
  • Erzwungene Schwingungen zeigen Resonanz: Amplitude maximal nahe \(\omega_0\); Dämpfung bestimmt Breite und Höhe des Maximums
  • Energie wird mit \(\dot{E} = -c\dot{x}^2\) dissipiert; der Gütefaktor \(Q = \omega_0/(2\gamma)\) charakterisiert die Dämpfung