Systeme von Differentialgleichungen

Differentialgleichungen – Kapitel 4

M. Ladecký, L. Pastewka

IMTEK, Universität Freiburg

Lernziele

Die Studierenden sollen…

  • … Differentialgleichungen höherer Ordnung in Systeme erster Ordnung überführen können.
  • … die Phasenebene zur geometrischen Interpretation von Systemen mit zwei Variablen interpretieren können.
  • … die Stabilität linearer Systeme anhand der Eigenwerte der Systemmatrix analysieren können.

Systeme von Differentialgleichungen

  • Viele reale Systeme: mehrere gekoppelte Größen, deren Änderungen voneinander abhängen
  • System = Menge von zwei oder mehr DGLs, die mehrere unbekannte Funktionen verknüpfen
  • Allgemeine Form (\(n\) gekoppelte DGLs erster Ordnung):

\[ \begin{aligned} \dot{y}_1(t) &= f_1(t, y_1, \ldots, y_n) \\ &\vdots \\ \dot{y}_n(t) &= f_n(t, y_1, \ldots, y_n) \end{aligned} \]

  • Kopplung: jede rechte Seite kann von allen Variablen abhängen

Vektorschreibweise

  • Unbekannte Funktionen und rechte Seiten als Vektoren zusammenfassen:

\[ \mathbf{y}(t) = \begin{pmatrix} y_1(t) \\ \vdots \\ y_n(t) \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{f}(t, \mathbf{y}) = \begin{pmatrix} f_1(t, y_1, \ldots, y_n) \\ \vdots \\ f_n(t, y_1, \ldots, y_n) \end{pmatrix} \]

  • Das gesamte System als eine Vektorgleichung:

\[ \dot{\mathbf{y}}(t) = \mathbf{f}(t, \mathbf{y}(t)) \]

  • Kompakter; erleichtert theoretische Analyse und numerische Lösung

Anwendungsgebiete

  • Mechanik: gekoppelte Massen (Moleküle, verbundene Fahrzeuge)
  • Elektrotechnik: Schaltkreise mit mehreren Energiespeichern (Kondensatoren, Spulen)
  • Biologie: gekoppelte Populationen, z.B. Räuber-Beute-Modell
  • Chemie: Reaktionsnetzwerke mit mehreren Spezies
  • Wirtschaftswissenschaften: wechselwirkende Märkte

Gemeinsamkeit: mehrere Größen beeinflussen sich gegenseitig und können nur gemeinsam verstanden werden.

Reduktion auf Systeme erster Ordnung

  • Jede DGL \(n\)-ter Ordnung lässt sich in ein System erster Ordnung umwandeln
  • Grundidee: für jede Ableitung eine neue Variable einführen

\[ y_1 = x, \quad y_2 = \dot{x}, \quad y_3 = \ddot{x}, \quad \ldots, \quad y_n = x^{(n-1)} \]

  • Erste \(n-1\) Gleichungen: trivial (Definitionen); letzte Gleichung: die ursprüngliche DGL
  • Wichtig, weil numerische Verfahren (z.B. Runge-Kutta), Phasenraumanalyse und Stabilitätstheorie für Systeme erster Ordnung formuliert sind

Der gedämpfte Oszillator als System

Bewegungsgleichung (2. Ordnung): \[ m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + kx(t) = F(t) \]

Neue Variablen (physikalisch natürlich): \[ y_1(t) = x(t) \;\; \text{(Auslenkung)}, \qquad y_2(t) = \dot{x}(t) \;\; \text{(Geschwindigkeit)} \]

Resultierendes System erster Ordnung: \[ \begin{aligned} \dot{y}_1(t) &= y_2(t) \\ \dot{y}_2(t) &= -\frac{k}{m}y_1(t) - \frac{c}{m}y_2(t) + \frac{1}{m}F(t) \end{aligned} \]

Matrixschreibweise

Zustandsvektor, Systemmatrix und Antriebsvektor:

\[ \mathbf{y} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{c}{m} \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{m} \end{pmatrix} \]

\[ \dot{\mathbf{y}} = A\mathbf{y} + \mathbf{b}F(t) \]

  • \(A\) charakterisiert die Eigenschwingungen
  • \(\mathbf{b}\) beschreibt, wie die äußere Kraft wirkt

Der ungedämpfte Fall

Mit \(c = 0\) und \(F(t) = 0\) (\(\omega_0 = \sqrt{k/m}\)):

\[ \dot{y}_1 = y_2, \qquad \dot{y}_2 = -\omega_0^2\, y_1 \]

Analytische Lösung:

\[ y_1(t) = A\cos(\omega_0 t + \phi), \qquad y_2(t) = -A\omega_0\sin(\omega_0 t + \phi) \]

  • Harmonische Schwingung; Auslenkung und Geschwindigkeit oszillieren phasenverschoben
  • \(A\), \(\phi\) aus den Anfangsbedingungen

Die Phasenebene

  • Geometrische Analyse von Systemen mit zwei Variablen
  • Achsen: \(y_1\) und \(y_2\) — statt zwei Zeitverläufen ein 2D-Diagramm
  • Ein Punkt = vollständiger Zustand des Systems zu einem Zeitpunkt
  • Zeitliche Entwicklung = Kurve in der Phasenebene (Trajektorie)
  • Kenntnis von \((y_1, y_2)\) zu einem Zeitpunkt bestimmt die gesamte zukünftige Entwicklung (deterministisches System)

Trajektorien

  • Trajektorie: Menge aller Punkte, die das System im Laufe der Zeit durchläuft
  • Form der Trajektorie verrät das Systemverhalten:
    • Ungedämpfter Oszillator: geschlossene Ellipsen, Achsen durch die Energie bestimmt → periodische Rückkehr, konservatives System
    • Gedämpfter Oszillator: Spiralen zum Ursprung → Dämpfung entzieht Energie, Konvergenz zum Gleichgewicht \((0,0)\)

Das Vektorfeld

  • Die DGLs definieren an jedem Punkt einen Vektor \((\dot{y}_1, \dot{y}_2)\): die momentane Änderungsrichtung
  • Trajektorie = Kurve, deren Tangente überall mit dem Vektorfeld übereinstimmt
  • Qualitative Analyse ohne explizite Lösung:
    • Vektoren zeigen zum Ursprung → stabile Bereiche
    • Vektoren zeigen nach außen → instabile Bereiche

Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten

\[ \dot{\mathbf{y}} = A\mathbf{y} + \mathbf{b}(t) \]

  • \(A\) konstant, \(\mathbf{b}(t)\) beschreibt externe Einflüsse
  • Linear: rechte Seite ist lineare Funktion von \(\mathbf{y}\) → systematisch analysierbar
  • Homogenes System (\(\mathbf{b} = \mathbf{0}\)): Lösung über die Matrix-Exponentialfunktion

\[ \dot{\mathbf{y}} = A\mathbf{y} \quad\Rightarrow\quad \mathbf{y}(t) = e^{At}\mathbf{y}_0, \qquad e^{At} = I + At + \frac{(At)^2}{2!} + \cdots \]

  • In der Praxis: Berechnung über Eigenwerte und Eigenvektoren von \(A\)

Rolle der Eigenwerte

\[ A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \quad\Rightarrow\quad \mathbf{y}(t) = e^{\lambda t}\mathbf{v} \;\;\text{ist Lösung} \]

  • \(\operatorname{Re}\lambda > 0\): exponentielles Wachstum
  • \(\operatorname{Re}\lambda < 0\): exponentielles Abklingen
  • \(\lambda\) rein imaginär: Oszillation ohne Wachstum/Abklingen
  • Allgemeine Lösung: Linearkombination dieser speziellen Lösungen
  • Langzeitverhalten dominiert vom Eigenwert mit dem größten Realteil

Stabilität

  • Gleichgewichtspunkt: \(\dot{\mathbf{y}} = \mathbf{0}\); für homogene lineare Systeme immer \(\mathbf{y} = \mathbf{0}\)
  • Stabil: Trajektorien, die in der Nähe starten, bleiben in der Nähe
  • Asymptotisch stabil: Trajektorien konvergieren zum Gleichgewicht
  • Instabil: Trajektorien entfernen sich

Stabilitätsbedingung für lineare Systeme:

  • Asymptotisch stabil \(\iff\) alle Eigenwerte haben negative Realteile
  • Instabil, wenn mindestens ein Eigenwert positiven Realteil hat
  • Eigenwerte auf der imaginären Achse: marginale Stabilität

Beispiele: Phasenebene des ungedämpften Oszillators

\(m = 1\,\text{kg}\), \(k = 1\,\text{N/m}\) → \(\omega_0 = 1\,\text{rad/s}\). Trajektorien sind Ellipsen (Energieerhaltung \(E = \frac{1}{2}my_2^2 + \frac{1}{2}ky_1^2\)), Periode \(T = 2\pi/\omega_0\).

Beispiele: Gedämpfter Oszillator in der Phasenebene

System \(\dot{y}_1 = y_2\), \(\dot{y}_2 = -\omega_0^2 y_1 - \gamma y_2\) für drei Dämpfungsregime:

  • Unterdämpfung: Spiralen mit mehreren Umläufen; kritische Dämpfung: schnellste Annäherung ohne Überschwingen; Überdämpfung: monotones „Kriechen” zur Ruhelage

Beispiele: Der RLC-Schaltkreis

Kirchhoff: \(L\ddot{Q} + R\dot{Q} + Q/C = U(t)\). Mit \(y_1 = Q\), \(y_2 = I = \dot{Q}\): \[ \dot{y}_1 = y_2, \qquad \dot{y}_2 = -\frac{1}{LC}y_1 - \frac{R}{L}y_2 + \frac{1}{L}U(t) \]

Analogie zum mechanischen Oszillator (identische mathematische Struktur):

Mechanisch Elektrisch
Masse \(m\) Induktivität \(L\)
Dämpfung \(c\) Widerstand \(R\)
Federkonstante \(k\) reziproke Kapazität \(1/C\)
Auslenkung \(x\), Geschwindigkeit \(\dot{x}\) Ladung \(Q\), Strom \(I\)
Kraft \(F\) Spannung \(U\)

Beispiele: LC- und RLC-Schaltkreis in der Phasenebene

LC (\(R=0\), \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\)): Ellipsen — Energie pendelt zwischen Kondensator und Spule. RLC (\(R>0\)): Spiralen — Dissipation in Wärme.

Zusammenfassung

  • Systeme von DGLs beschreiben mehrere gekoppelte Variablen; Vektorschreibweise \(\dot{\mathbf{y}} = \mathbf{f}(t, \mathbf{y})\) macht die Struktur kompakt
  • Jede DGL höherer Ordnung lässt sich durch neue Variablen (\(y_1 = x\), \(y_2 = \dot{x}\), …) in ein System erster Ordnung überführen — fundamental für Numerik und Theorie
  • Die Phasenebene visualisiert 2D-Systeme: Trajektorien zeigen Stabilität und periodisches Verhalten (Ellipsen ↔︎ konservativ, Spiralen ↔︎ gedämpft)
  • Lineare Systeme \(\dot{\mathbf{y}} = A\mathbf{y}\): Eigenwerte von \(A\) bestimmen das qualitative Verhalten; asymptotisch stabil \(\iff\) alle Realteile negativ
  • Mechanischer Oszillator und RLC-Schaltkreis sind mathematisch identisch (\(m \leftrightarrow L\), \(c \leftrightarrow R\), \(k \leftrightarrow 1/C\))