Variationsrechnung
Differentialgleichungen – Kapitel 6
M. Ladecký, L. Pastewka
IMTEK, Universität Freiburg
Lernziele
Die Studierenden sollen…
- … das Variationsprinzip formulieren und den Unterschied zwischen Funktionen und Funktionalen erklären können.
- … die Euler-Lagrange-Gleichung aus dem Variationsprinzip ableiten können.
- … Variationsprobleme mit einer oder mehreren Variablen lösen und physikalische Bedeutungen interpretieren können.
Von Funktionen zu Funktionalen
- Klassische Analysis: Extrema von Funktionen \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\)
- Variationsrechnung: Funktionale \(J: \mathcal{F} \to \mathbb{R}\) ordnen einer Funktion eine Zahl zu, typischerweise als Integral
- Gesucht: die Funktion \(y \in \mathcal{F}\), die \(J[y]\) minimiert oder maximiert
- Statt optimaler Zahlenwert → optimale Funktionsform
- Fundament für Mechanik, Optik, Quantenmechanik, Relativitätstheorie
Definition einer Variation
Familie variierter Funktionen um \(y^*(t)\): \[
y(t; \varepsilon) = y^*(t) + \varepsilon\, \eta(t)
\]
- Störungsfunktion \(\eta(t)\) mit \(\eta(a) = \eta(b) = 0\): alle variierten Funktionen erfüllen dieselben Randbedingungen
- Entlang der Familie wird das Funktional zur gewöhnlichen Funktion: \[
J(\varepsilon) = J[y^*(t) + \varepsilon\, \eta(t)]
\]
Das Variationsprinzip
\(y^*(t)\) ist stationärer Punkt von \(J[y]\), wenn für alle zulässigen \(\eta(t)\): \[
\delta J = \frac{\mathrm{d}J}{\mathrm{d}\varepsilon}\bigg|_{\varepsilon=0} = 0
\]
- \(\delta J\): erste Variation des Funktionals
- Analogon zu \(f'(x) = 0\) — notwendig, nicht hinreichend
- Stationäre Punkte können Minima, Maxima oder Sattelpunkte sein
Das grundlegende Funktional
\[
J[y] = \int_a^b L(t, y, y') \, \mathrm{d}t
\]
- \(L(t, y, y')\): Lagrangefunktion — charakterisiert das spezifische Variationsproblem
- Entlang der Variation \(y = y^* + \varepsilon\eta\): \[
J(\varepsilon) = \int_a^b L(t, y^* + \varepsilon\eta, y'^* + \varepsilon\eta') \, \mathrm{d}t
\]
Herleitung: erste Variation
Differenzieren nach \(\varepsilon\) bei \(\varepsilon = 0\) (Kettenregel): \[
\delta J = \int_a^b \left[\frac{\partial L}{\partial y}\eta + \frac{\partial L}{\partial y'}\eta'\right] \mathrm{d}t
\]
Partielle Integration des zweiten Terms: \[
\int_a^b \frac{\partial L}{\partial y'}\eta' \, \mathrm{d}t = \underbrace{\left[\frac{\partial L}{\partial y'}\eta\right]_a^b}_{=\,0} - \int_a^b \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial y'}\right)\eta \, \mathrm{d}t
\]
Randterm verschwindet wegen \(\eta(a) = \eta(b) = 0\)
Die Euler-Lagrange-Gleichung
\[
\delta J = \int_a^b \left[\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial y'}\right)\right]\eta \, \mathrm{d}t = 0 \quad \forall \eta
\]
→ der Klammerausdruck muss identisch verschwinden: \[
\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial y'}\right) = 0
\]
Gewöhnliche DGL zweiter Ordnung — jede Lösung ist ein stationärer Punkt von \(J\)
Struktur der Euler-Lagrange-Gleichung
Ausführen der totalen Ableitung: \[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial y'}\right) = \frac{\partial^2 L}{\partial t \partial y'} + \frac{\partial^2 L}{\partial y \partial y'} y' + \frac{\partial^2 L}{\partial y'^2} y''
\]
- Enthält implizit zweite Ableitungen von \(y\)
- Zusammen mit zwei Randbedingungen \(y(a) = y_a\), \(y(b) = y_b\): Randwertproblem
Funktionale mit mehreren Funktionen
\[
J[y_1, \ldots, y_n] = \int_a^b L(t, y_1, \ldots, y_n, y_1', \ldots, y_n') \, \mathrm{d}t
\]
Unabhängige Variation jeder Funktion → System gekoppelter Gleichungen: \[
\frac{\partial L}{\partial y_i} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial y_i'}\right) = 0, \quad i = 1, \ldots, n
\]
- \(n\) DGLs zweiter Ordnung, \(2n\) Randbedingungen
- Typisch in der Mechanik: Systeme mit mehreren Freiheitsgraden
Physik: Prinzip der kleinsten Wirkung
Lagrangefunktion der Mechanik: \(L = T - V\) (kinetische minus potentielle Energie)
Die Wirkung: \[
S = \int_{t_1}^{t_2} L(t, q, \dot{q}) \, \mathrm{d}t
\]
- Die tatsächliche Bewegung macht die Wirkung stationär
- Euler-Lagrange-Gleichungen = Bewegungsgleichungen
- Äquivalent zu Newton, aber oft eleganter und allgemeiner
Variationsprinzipien in der Physik
- Optik: Fermatsches Prinzip — Licht minimiert die Laufzeit (erklärt Reflexion und Brechung)
- Quantenmechanik: Feynmans Pfadintegral — Summe über alle Pfade, gewichtet mit der klassischen Wirkung
- Allgemeine Relativitätstheorie: Geodäten als kürzeste Wege in gekrümmter Raumzeit
- Kontinuumsmechanik: Gleichgewicht elastischer Körper durch Minimierung der potentiellen Energie
Beispiel 1: Kürzeste Kurve zwischen zwei Punkten
Bogenlänge aus dem Satz des Pythagoras: \[
\mathrm{d}s = \sqrt{1 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2} \, \mathrm{d}x
\]
Zu minimierendes Funktional: \[
J[y] = \int_a^b \sqrt{1 + (y')^2} \, \mathrm{d}x, \qquad L = \sqrt{1 + (y')^2}
\]
Beispiel 1: Lösung — die Gerade
\(L\) hängt nicht von \(y\) ab: \(\frac{\partial L}{\partial y} = 0\), also \[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{y'}{\sqrt{1 + (y')^2}}\right) = 0
\;\Rightarrow\;
\frac{y'}{\sqrt{1 + (y')^2}} = c
\]
Auflösen: \(y' = m\) konstant → \[
y(x) = mx + n
\]
Die kürzeste Verbindung ist die gerade Linie (\(m\), \(n\) aus den Randbedingungen)
Beispiel 2: Das Brachistochron-Problem
- Johann Bernoulli, 1696: Teilchen gleitet reibungsfrei unter Schwerkraft von A zu tieferem B
- Gesucht: Kurve mit minimaler Laufzeit (griech. “kürzeste Zeit”) — nicht kürzester Weg!
- Steiler Anfang → schneller Geschwindigkeitsaufbau; optimale Kurve als Kompromiss zwischen direktem Weg und Beschleunigung
Energieerhaltung: \(mgy = \frac{1}{2}mv^2 \;\Rightarrow\; v = \sqrt{2gy}\)
Beispiel 2: Funktional und Beltrami-Identität
\[
T[y] = \int_0^a \frac{\sqrt{1 + (y')^2}}{\sqrt{2gy}} \, \mathrm{d}x
\]
\(L\) hängt nicht explizit von \(x\) ab → erstes Integral (Beltrami-Identität): \[
L - y' \frac{\partial L}{\partial y'} = C
\;\Rightarrow\;
1 + (y')^2 = \frac{1}{C^2 y}
\]
DGL erster statt zweiter Ordnung!
Beispiel 2: Die Zykloide als Lösung
Lösung: Zykloide — Bahn eines Punktes auf einem rollenden Rad \[
x(\theta) = \frac{R}{2}(\theta - \sin\theta), \qquad y(\theta) = \frac{R}{2}(1 - \cos\theta)
\]
- \(R\) aus den Randbedingungen (Lage von A und B)
- Steiler Start → schneller Geschwindigkeitsaufbau; flacher Auslauf nutzt die Geschwindigkeit
- Schneller als Gerade oder Kreisbogen, obwohl der Weg länger ist
Zusammenfassung
- Funktionale ordnen Funktionen eine Zahl zu; gesucht sind stationäre Punkte: \(\delta J = 0\)
- Das Variationsprinzip führt auf die Euler-Lagrange-Gleichung: \[
\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial y'}\right) = 0
\]
- Mehrere Funktionen → System gekoppelter Euler-Lagrange-Gleichungen
- Kürzeste Kurve: Gerade; schnellste Bahn unter Schwerkraft: Zykloide
- Variationsprinzipien sind das Fundament der Physik (kleinste Wirkung, Fermat, Pfadintegrale, Geodäten)