Dynamische Systeme

Differentialgleichungen – Kapitel 7

M. Ladecký, L. Pastewka

IMTEK, Universität Freiburg

Lernziele

Die Studierenden sollen…

  • … das Hamilton-Prinzip der kleinsten Wirkung erläutern und die Lagrangefunktion mechanischer Systeme angeben können.
  • … aus der Lagrangefunktion systematisch die Euler-Lagrange-Gleichungen für mechanische Systeme erstellen können.
  • … die mechanisch-elektrische Analogie in Beziehung setzen und Entsprechungen zwischen mechanischen und elektrischen Größen angeben können.

Von der Variationsrechnung zur Dynamik

  • Statt Kräfte einzeln zu identifizieren (Newton): Bewegung als Optimierungsproblem
  • Die Natur wählt den Weg, der ein Funktional extremal macht
  • Entwickelt von Leibniz, Maupertuis, Euler — perfektioniert von Lagrange und Hamilton
  • Vorteile: funktioniert in beliebigen Koordinatensystemen, skaliert auf viele Freiheitsgrade
  • Ergebnis: Bewegungsgleichungen als Differentialgleichungen

Die Lagrangefunktion

\[ L = T^* - V \]

  • \(T^*\): kinetische Koenergie, \(V\): potentielle Energie \[ T^* = \frac{1}{2}\sum_i m_i \dot{q}_i^2 \]
  • \(V\) hängt von den Positionen \(q_i\) ab (Felder, elastische Elemente)
  • \(q_i\): generalisierte Koordinaten — kartesische Koordinaten, Winkel, Längen, …

Generalisierte Koordinaten

System Koordinate Bedeutung
Masse an Feder Position \(x\) Auslenkung aus der Ruhelage
Pendel Winkel \(\theta\) Auslenkung aus der Vertikalen
LC-Schaltkreis Ladung \(Q\) Ladung auf dem Kondensator
Roboterarm Gelenkwinkel \(\phi_i\) Orientierung der Gelenke
  • Anzahl der Koordinaten = Anzahl der Freiheitsgrade
  • Zwangsbedingungen sind automatisch erfüllt — keine Zwangskräfte nötig

Die Wirkung

\[ S = \int_{t_1}^{t_2} L(t, q, \dot{q}) \, \mathrm{d}t \]

  • Funktional: ordnet jeder Trajektorie im Konfigurationsraum eine Zahl zu
  • Einheit: Energie × Zeit (Joule-Sekunden)
  • In der Quantenmechanik definiert \(\hbar\) die fundamentale Skala der Wirkung

Das Hamilton-Prinzip

Die tatsächliche Bewegung macht die Wirkung stationär: \[ \delta S = 0 \]

  • Extremum unter allen Bewegungen mit denselben Anfangs- und Endbedingungen
  • Meist ein Minimum → „Prinzip der kleinsten Wirkung”
  • Gilt universell: Mechanik, Felder, Flüssigkeiten, Elektrodynamik

Die Euler-Lagrange-Gleichungen

Aus \(\delta S = 0\) folgt für \(n\) generalisierte Koordinaten: \[ \frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) = 0, \quad i = 1, \ldots, n \]

  • System gekoppelter DGLs zweiter Ordnung für \(q_i(t)\)
  • Struktur ist universell — die konkrete Lagrangefunktion bestimmt die Bewegungsgleichungen

Systematisches Vorgehen

  1. Generalisierte Koordinaten \(q_i\) wählen (= Freiheitsgrade)
  2. \(T^*\) und \(V\) in diesen Koordinaten bestimmen → \(L = T^* - V\)
  3. Partielle Ableitungen \(\frac{\partial L}{\partial q_i}\) und \(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\) berechnen, letztere nach der Zeit ableiten
  4. In die Euler-Lagrange-Gleichungen einsetzen

→ Bewegungsgleichungen + Anfangsbedingungen = vollständige Dynamik

Die Rayleigh-Dissipationsfunktion

Reibung/Widerstand: quadratische Funktion der Geschwindigkeiten \[ \mathcal{D} = \frac{1}{2}\sum_i c_i \dot{q}_i^2 \]

Modifizierte Euler-Lagrange-Gleichungen mit Dissipation und externer Kraft: \[ \frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) = \frac{\partial \mathcal{D}}{\partial \dot{q}_i} - F_i^\mathrm{ext} \]

Achtung: gilt nur für Kräfte, die linear in \(\dot{q}\) sind — Vorteil: Vorzeichen immer korrekt

Die mechanisch-elektrische Analogie

Mechanisch Elektrisch Bedeutung
Position \(x\) Ladung \(Q\) Zustandsgröße
Geschwindigkeit \(\dot{x}\) Strom \(I = \dot{Q}\) Änderungsrate
Masse \(m\) Induktivität \(L\) Trägheit
Federkonstante \(k\) Reziproke Kapazität \(1/C\) Rückstellkraft
Reibungskonstante \(c\) Widerstand \(R\) Dissipation

Folgt aus der identischen Struktur der Lagrangefunktionen

Mathematische Basis der Analogie

\[ L_{\text{mech}} = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}kx^2 \qquad L_{\text{elec}} = \frac{1}{2}L\dot{Q}^2 - \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} \]

Identische Form → identische Bewegungsgleichungen: \[ m\ddot{x} + kx = 0 \qquad\leftrightarrow\qquad L\ddot{Q} + \frac{Q}{C} = 0 \]

Lösungen und Einsichten lassen sich direkt zwischen den Systemen übertragen

Beispiel 1: Masse an einer Feder

\[ L(x, \dot{x}) = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}kx^2 \]

Ableitungen: \(\frac{\partial L}{\partial x} = -kx\), \(\quad\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) = m\ddot{x}\)

Euler-Lagrange-Gleichung: \[ m\ddot{x} + kx = 0 \]

Harmonische Oszillationen mit \(\omega = \sqrt{k/m}\)

Beispiel 1: Gedämpfter Oszillator

Dissipationsfunktion \(\mathcal{D} = \frac{1}{2}c\dot{x}^2\), also \(\frac{\partial \mathcal{D}}{\partial \dot{x}} = c\dot{x}\): \[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0 \]

Als System erster Ordnung (\(y_1 = x\), \(y_2 = \dot{x}\)): \[ \begin{aligned} \dot{y}_1 &= y_2 \\ \dot{y}_2 &= -\frac{k}{m}y_1 - \frac{c}{m}y_2 \end{aligned} \]

Beispiel 2: RLC-Schaltkreis

Koordinate: Ladung \(Q\), Strom \(I = \dot{Q}\) \[ L(Q, \dot{Q}) = \underbrace{\frac{1}{2}L\dot{Q}^2}_{\text{magn. Energie}} - \underbrace{\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}}_{\text{elektr. Energie}}, \qquad \mathcal{D} = \frac{1}{2}R\dot{Q}^2 \]

Euler-Lagrange mit Dissipation: \[ L\ddot{Q} + R\dot{Q} + \frac{Q}{C} = 0 \]

Identisch mit \(m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0\) unter \(x \to Q\), \(m \to L\), \(c \to R\), \(k \to 1/C\)

Beispiel 3: Elektromechanischer Wandler

Lautsprecher, Mikrofon: mechanische + elektrische Freiheitsgrade \[ L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}L\dot{Q}^2 - \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} - \alpha x \dot{Q} \]

  • Kopplungsterm \(-\alpha x \dot{Q}\): verbindet Position und Strom
  • Dissipation aus beiden Subsystemen: \[ \mathcal{D} = \frac{1}{2}c\dot{x}^2 + \frac{1}{2}R\dot{Q}^2 \]

Beispiel 3: Gekoppelte Bewegungsgleichungen

\[ \begin{aligned} m\ddot{x} + c\dot{x} + kx &= -\alpha\dot{Q} \\ L\ddot{Q} + R\dot{Q} + \frac{Q}{C} &= \alpha\dot{x} \end{aligned} \]

  • Strom übt Kraft auf die Masse aus (\(-\alpha\dot{Q}\))
  • Bewegung induziert Gegen-EMK im Schaltkreis (\(\alpha\dot{x}\))
  • Reziproke Kopplung: \(\alpha\) tritt in beiden Gleichungen auf
  • Mit \(y_1 = x\), \(y_2 = \dot{x}\), \(y_3 = Q\), \(y_4 = \dot{Q}\): System von vier DGLs 1. Ordnung

Zusammenfassung

  • Hamilton-Prinzip: tatsächliche Bewegung macht die Wirkung \(S = \int L \, \mathrm{d}t\) stationär (\(\delta S = 0\))
  • Lagrangefunktion \(L = T^* - V\) → Euler-Lagrange-Gleichungen liefern die Bewegungsgleichungen systematisch
  • Rayleigh-Dissipationsfunktion \(\mathcal{D}\) erweitert den Formalismus auf gedämpfte Systeme
  • Mechanisch-elektrische Analogie: \(m \leftrightarrow L\), \(c \leftrightarrow R\), \(k \leftrightarrow 1/C\) — identische Mathematik
  • Methode skaliert auf gekoppelte Systeme (z.B. elektromechanische Wandler) und bildet die Basis der theoretischen Physik