Fourier-Methoden

Differentialgleichungen – Kapitel 9

M. Ladecký, L. Pastewka

IMTEK, Universität Freiburg

Lernziele

Die Studierenden sollen…

  • … die Green’sche Funktion als Impulsantwort linearer Systeme erläutern und deren Bedeutung erklären können.
  • … die Übertragungsfunktion aus den Koeffizienten einer Differentialgleichung berechnen können.
  • … lineare Differentialgleichungen mit Fourier-Methoden durch Transformation, algebraische Lösung und Rücktransformation lösen können.

Die Strategie der Fourier-Methoden

  • Die Fourier-Transformation verwandelt Ableitungen in algebraische Ausdrücke:

\[ \mathcal{F}\left[\frac{d^n f}{dx^n}\right](k) = (ik)^n \hat{f}(k) \]

  • DGL im Ortsraum → algebraische Gleichung im Fourier-Raum
  • Lösungsschema:
    1. Transformation der DGL in den Fourier-Raum
    2. Algebraische Lösung nach der transformierten Funktion
    3. Rücktransformation in den Ortsraum

Lineare zeitinvariante Systeme

  • Linear: Superpositionsprinzip gilt – ist \(f_1\) Antwort auf \(u_1\) und \(f_2\) Antwort auf \(u_2\), dann ist \(\alpha f_1 + \beta f_2\) die Antwort auf \(\alpha u_1 + \beta u_2\)
  • Zeitinvariant: Verschiebung der Anregung verschiebt nur die Antwort – \(f(t-\tau)\) ist Antwort auf \(u(t-\tau)\)
  • Lineare zeitinvariante Systeme sind durch ihre Impulsantwort vollständig charakterisiert
  • Eine einzige Funktion genügt, um die Antwort auf beliebige Anregungen zu berechnen

Die Green’sche Funktion

  • \(G(t)\) = Impulsantwort: Reaktion auf Dirac-Impuls \(\delta(t)\)

\[ a_n \frac{d^n G}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} G}{dt^{n-1}} + \cdots + a_0 G = \delta(t) \]

  • Lösung für beliebige Anregung \(f(t)\) durch Faltung:

\[ x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} G(t-t')\, f(t') \, dt' = (G * f)(t) \]

  • \(G(t-t')\) gewichtet, wie stark eine Anregung bei \(t'\) noch bei \(t\) nachwirkt
  • Einmal bestimmt → Lösung für jede rechte Seite per Faltung

Die Übertragungsfunktion

  • Fourier-Transformierte der Green’schen Funktion:

\[ H(\omega) = \mathcal{F}[G](\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} G(t)\, e^{-i\omega t} \, dt \]

  • Aus den Koeffizienten der DGL: jede \(n\)-te Ableitung durch \((i\omega)^n\) ersetzen

\[ H(\omega) = \frac{1}{a_n(i\omega)^n + a_{n-1}(i\omega)^{n-1} + \cdots + a_1(i\omega) + a_0} \]

  • Rationale Funktion; Nenner = charakteristisches Polynom mit \(\lambda \to i\omega\)

Lösung im Fourier-Raum

  • Die Lösung reduziert sich auf eine Multiplikation:

\[ \hat{x}(\omega) = H(\omega) \cdot \hat{f}(\omega) \]

  • Jede Frequenzkomponente wird unabhängig behandelt
  • Praktische Strategie in vier Schritten:
    1. \(H(\omega)\) aus den Koeffizienten der DGL bestimmen
    2. Fourier-Transformierte \(\hat{f}(\omega)\) der Anregung berechnen
    3. Multiplizieren: \(\hat{x}(\omega) = H(\omega) \cdot \hat{f}(\omega)\)
    4. Rücktransformation: \(x(t) = \mathcal{F}^{-1}[\hat{x}](t)\)
  • \(H(\omega)\) wirkt als frequenzabhängiger Filter: große \(|H(\omega)|\) → starke Übertragung

Antwort auf harmonische Anregung

  • Anregung \(f(t) = f_0 \cos(\omega t)\): nach Einschwingen stationäre harmonische Lösung

\[ x(t) = \text{Re}\{x_0 e^{i\omega t}\}, \qquad \frac{x_0}{f_0} = H(\omega) \]

  • \(|x_0| = |H(\omega)| \cdot |f_0|\): Amplitude der Antwort
  • \(\phi = \arg H(\omega)\): Phasenverschiebung zwischen Anregung und Antwort
  • Eine komplexe Zahl fasst Verstärkung und Phase zusammen

Resonanz

  • Resonanz: \(|H(\omega)|\) erreicht ein Maximum, System reagiert besonders empfindlich
  • Gedämpfter Oszillator (\(\omega_0\), Dämpfung \(\gamma\)) – Amplitudenresonanz:

\[ \omega_{\text{max}} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2} \]

  • Leistungsresonanz exakt bei \(\omega = \omega_0\), unabhängig von der Dämpfung:

\[ \overline{P} = \frac{1}{2} |f_0|^2\, \omega \cdot \text{Im}\{H(\omega)\} \]

  • Mathematische Ursache: Pole der Übertragungsfunktion bei \(\omega = -i\gamma \pm \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}\) – Nähe der reellen Frequenz zu einem Pol → Resonanz

Diskrete Fourier-Transformation (DFT)

  • Numerik: endlich viele Abtastwerte \(f_j = f(t_j)\) statt kontinuierlicher Funktionen

\[ \hat{f}_k = \sum_{j=0}^{N-1} f_j\, e^{-2\pi i jk/N} \]

  • \(N\) Zeitwerte → \(N\) diskrete Frequenzwerte
  • FFT: effizienter Algorithmus, \(O(N \log N)\) statt \(O(N^2)\)
    • \(N = 1024\): ca. zehntausend statt einer Million Operationen
  • Einer der wichtigsten Algorithmen der numerischen Mathematik

Faltungstheorem für die DFT

  • Zirkuläre Faltung zweier Folgen:

\[ (f \circledast g)_n = \sum_{m=0}^{N-1} f_m \cdot g_{(n-m) \bmod N} \]

  • DFT der Faltung = punktweises Produkt der DFTs:

\[ \widehat{(f \circledast g)}_k = \hat{f}_k \cdot \hat{g}_k \]

  • Schnelle Faltung in \(O(N \log N)\): FFT von \(f\) und \(g\) → punktweise multiplizieren → inverse FFT
  • Extensiv genutzt in Signal- und Bildverarbeitung

Beispiel: Gedämpfter harmonischer Oszillator

\[ m\frac{d^2x}{dt^2} + \beta\frac{dx}{dt} + kx = f(t) \]

  • Mit \(\gamma = \beta/(2m)\) und \(\omega_0 = \sqrt{k/m}\):

\[ \frac{d^2 x}{dt^2} + 2\gamma\frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = \frac{f(t)}{m} \]

  • Übertragungsfunktion und Amplitudenverstärkung:

\[ H(\omega) = \frac{1/m}{(\omega_0^2 - \omega^2) + 2i\gamma\omega}, \qquad |H(\omega)| = \frac{1/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}} \]

Beispiel: Amplituden- und Phasengang

Maximum bei \(\omega_0\); Phase durchläuft dort \(-90°\), bei hohen Frequenzen gegenphasige Antwort (\(-180°\)).

Beispiel: Green’sche Funktion (Impulsantwort)

  • Für schwache Dämpfung (\(\gamma < \omega_0\)), mit \(\omega_\mathrm{r} = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}\):

\[ G(t) = \frac{1}{m\omega_\mathrm{r}}\, e^{-\gamma t} \sin(\omega_\mathrm{r} t) \cdot \Theta(t) \]

Gedämpfte Schwingung: Oszillation mit \(\omega_\mathrm{r}\), Einhüllende fällt mit Zeitkonstante \(1/\gamma\).

Beispiel: Resonanzkurven

Kleine Dämpfung → scharfe Resonanzspitze; maximale Verstärkung \(|H(\omega_0)| \approx 1/(2m\gamma\omega_0)\) ist umgekehrt proportional zur Dämpfung.

Zusammenfassung

  • Fourier-Methoden machen aus DGLs algebraische Gleichungen: Ableitungen → Multiplikationen mit \((i\omega)^n\)
  • Die Green’sche Funktion ist die Impulsantwort; Lösung für beliebige Anregung durch Faltung \(x = G * f\)
  • Die Übertragungsfunktion \(H(\omega) = \mathcal{F}[G]\) charakterisiert das System: \(\hat{x}(\omega) = H(\omega)\,\hat{f}(\omega)\) – Verstärkung und Phase in einer komplexen Zahl
  • Resonanz, wenn die Anregungsfrequenz nahe an einem Pol von \(H\) liegt
  • Die FFT (\(O(N \log N)\)) macht Fourier-Methoden numerisch praktikabel