Laplace-Transformation

Differentialgleichungen – Kapitel 10

M. Ladecký, L. Pastewka

IMTEK, Universität Freiburg

Lernziele

Die Studierenden sollen…

  • … die Laplace-Transformation definieren und ihre Eigenschaften, insbesondere das Verhalten bei Differentiation, erklären können.
  • … die Konzepte von Polen und Nullstellen einer Übertragungsfunktion erklären können.
  • … Anfangswertprobleme mittels Laplace-Transformation lösen und dabei die automatische Berücksichtigung von Anfangsbedingungen nutzen können.
  • … die Pole einer Übertragungsfunktion berechnen und ihre Bedeutung für das Zeitverhalten interpretieren können.
  • … die Stabilität dynamischer Systeme anhand der Pollagen in der komplexen \(s\)-Ebene analysieren können.

Warum Laplace-Transformation?

  • Standardwerkzeug für Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen DGLs
  • Verwandelt Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen
  • Vorteile gegenüber anderen Methoden:
    • Anfangsbedingungen erscheinen automatisch in der transformierten Gleichung
    • Kausalität natürlich eingebaut (Integration nur über \(t \geq 0\))
    • Konvergenz für größere Funktionenklasse als bei Fourier
    • Sprünge und Impulse direkt behandelbar

Definition: Laplace als Fourier mit Dämpfung

  • Kausale Funktion \(f(t)\,\Theta(t)\); Konvergenz erzwingen durch Dämpfung \(e^{-\sigma t}\):

\[ \hat{g}(\omega) = \mathcal{F}[f(t)\, e^{-\sigma t}\, \Theta(t)](\omega) = \int_0^{\infty} f(t)\, e^{-(\sigma + i\omega) t} \, dt \]

  • Mit \(s = \sigma + i\omega\) folgt die Laplace-Transformation:

\[ \mathcal{L}[f(t)](s) = F(s) = \int_0^\infty f(t)\, e^{-st} \, dt \]

  • Realteil \(\sigma\): Dämpfung – Imaginärteil \(\omega\): Frequenz

Konvergenzbereich

  • Das Integral konvergiert nur für bestimmte \(s\): Konvergenzbereich (ROC), typisch \(\text{Re}(s) > \sigma_0\)
  • Beispiel \(f(t) = e^{at}\):

\[ F(s) = \int_0^\infty e^{-(s-a)t} \, dt = \frac{1}{s-a}, \qquad \text{Re}(s) > a \]

  • Die Dämpfung \(\sigma\) muss größer sein als die Wachstumsrate \(a\)
  • Deshalb existiert die Laplace-Transformation auch für Funktionen wie \(e^{at}\), deren Fourier-Transformation divergiert

Die inverse Laplace-Transformation

  • Bromwich-Formel (aus der inversen Fourier-Transformation):

\[ f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\sigma - i\infty}^{\sigma + i\infty} F(s)\, e^{st} \, ds \]

  • Integration entlang einer vertikalen Linie \(\text{Re}(s) = \sigma\) rechts von allen Polen von \(F(s)\)
  • In der Praxis stattdessen:
    • Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen
    • Tabellen bekannter Transformationspaare
    • Residuensatz

Wichtige Transformationspaare

\(f(t)\) (für \(t \geq 0\)) \(F(s)\) Konvergenz
\(\delta(t)\) \(1\) alle \(s\)
\(\Theta(t)\) \(\frac{1}{s}\) \(\text{Re}(s) > 0\)
\(t^n\) \(\frac{n!}{s^{n+1}}\) \(\text{Re}(s) > 0\)
\(e^{\alpha t}\) \(\frac{1}{s - \alpha}\) \(\text{Re}(s) > \text{Re}(\alpha)\)
\(t^n e^{\alpha t}\) \(\frac{n!}{(s - \alpha)^{n+1}}\) \(\text{Re}(s) > \text{Re}(\alpha)\)
\(\sin(\omega t)\) \(\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}\) \(\text{Re}(s) > 0\)
\(\cos(\omega t)\) \(\frac{s}{s^2 + \omega^2}\) \(\text{Re}(s) > 0\)
\(e^{\alpha t}\sin(\omega t)\) \(\frac{\omega}{(s-\alpha)^2 + \omega^2}\) \(\text{Re}(s) > \text{Re}(\alpha)\)
\(e^{\alpha t}\cos(\omega t)\) \(\frac{s - \alpha}{(s-\alpha)^2 + \omega^2}\) \(\text{Re}(s) > \text{Re}(\alpha)\)

Differentiation: Anfangswerte automatisch

  • Die entscheidende Eigenschaft für Anfangswertprobleme:

\[ \mathcal{L}\left[\frac{df}{dt}\right] = s F(s) - f(0), \qquad \mathcal{L}\left[\frac{d^2f}{dt^2}\right] = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) \]

  • Allgemein für die \(n\)-te Ableitung:

\[ \mathcal{L}\left[\frac{d^nf}{dt^n}\right] = s^n F(s) - \sum_{k=0}^{n-1} s^{n-1-k} f^{(k)}(0) \]

  • Im Gegensatz zu Fourier (\(\mathcal{F}[f'] = i\omega \hat{f}\)) sind die Anfangswerte von selbst dabei

Weitere Rechenregeln

Eigenschaft Zeitbereich Laplace-Bereich
Linearität \(\alpha f(t) + \beta g(t)\) \(\alpha F(s) + \beta G(s)\)
Integration \(\int_0^t f(\tau)d\tau\) \(\frac{F(s)}{s}\)
Verschiebung in \(s\) \(e^{\alpha t}f(t)\) \(F(s - \alpha)\)
Zeitverschiebung \(f(t - a)\Theta(t-a)\) \(e^{-as}F(s)\)
Faltung \((f * g)(t)\) \(F(s) \cdot G(s)\)
Multiplikation mit \(t\) \(tf(t)\) \(-\frac{dF(s)}{ds}\)
  • Anfangswertsatz: \(f(0) = \lim_{s \to \infty} s F(s)\)
  • Endwertsatz: \(\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} s F(s)\) – stationärer Zustand ohne Rücktransformation

Lösen von Differentialgleichungen: Rezept

  1. Transformation beider Seiten in den \(s\)-Bereich mit \(\mathcal{L}[y'] = sY - y(0)\) und \(\mathcal{L}[y''] = s^2Y - sy(0) - y'(0)\)
  2. Algebraische Lösung der Gleichung nach \(Y(s)\)
  3. Partialbruchzerlegung von \(Y(s)\) in einfache Terme
  4. Rücktransformation jedes Terms mit der Tabelle
  • Die Lösung im \(s\)-Bereich ist oft trivial; die Schwierigkeit liegt in Partialbruchzerlegung und Inversion

Übertragungsfunktionen

  • Für ein lineares System mit Eingang \(u(t)\) und Ausgang \(y(t)\):

\[ H(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_m s^m + \cdots + b_0}{a_n s^n + \cdots + a_0} \]

  • Rationale Funktion; Koeffizienten direkt aus der DGL
  • Charakterisiert das System vollständig, unabhängig von der Eingabe
  • Faktorisierte Darstellung mit Nullstellen \(z_i\) und Polen \(p_i\):

\[ H(s) = K \cdot \frac{(s - z_1)\cdots(s - z_m)}{(s - p_1)\cdots(s - p_n)} \]

Pole, Nullstellen und Zeitverhalten

  • Pole: Nullstellen des Nenners, \(|H(s)| \to \infty\) — Nullstellen: \(H(s_\mathrm{z}) = 0\)
  • Jeder einfache Pol liefert via Partialbruchzerlegung:

\[ \frac{A_i}{s - p_i} \quad \xrightarrow{\mathcal{L}^{-1}} \quad A_i\, e^{p_i t} \]

Pollage Zeitverhalten
\(p = -a\) (reell, negativ) \(e^{-at}\): exponentielles Abklingen
\(p = a\) (reell, positiv) \(e^{at}\): exponentielles Wachstum (instabil)
\(p = \pm i\omega\) (rein imaginär) ungedämpfte Schwingung
\(p = -\sigma \pm i\omega\) \(e^{-\sigma t}\cos(\omega t)\): gedämpfte Schwingung
\(p = \sigma \pm i\omega\), \(\sigma > 0\) aufklingende Schwingung (instabil)

Stabilität in der komplexen \(s\)-Ebene

  • Stabil: alle Pole in der linken Halbebene (\(\text{Re}(s) < 0\)) – alle Eigenmoden klingen ab
  • Grenzstabil: Pol(e) auf der imaginären Achse – anhaltende Schwingungen
  • Instabil: mindestens ein Pol in der rechten Halbebene – exponentiell wachsende Lösungen

\[ \text{System stabil} \quad \Leftrightarrow \quad \text{Re}(p_i) < 0 \quad \forall i \]

  • Stabilität auf einen Blick aus dem Pol-Nullstellen-Diagramm ablesbar
  • Resonanz: \(|H(i\omega)|\) wird groß, wenn die reelle Frequenz \(\omega\) nahe an einen Pol kommt – je näher ein Pol an der imaginären Achse (kleine Dämpfung), desto ausgeprägter die Resonanz

Gedämpfter Oszillator: Dämpfungsregime

  • \(m\ddot{y} + c\dot{y} + ky = f(t)\), Pole aus \(ms^2 + cs + k = 0\):

\[ s_{1,2} = -\zeta\omega_\mathrm{n} \pm \omega_\mathrm{n}\sqrt{\zeta^2 - 1}, \quad \omega_\mathrm{n} = \sqrt{k/m}, \quad \zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}} \]

Dämpfungsgrad Pole Verhalten
\(\zeta > 1\) (überdämpft) zwei reelle negative kriechende Rückkehr
\(\zeta = 1\) (kritisch) doppelter reeller schnellste Rückkehr ohne Überschwingen
\(0 < \zeta < 1\) (unterdämpft) komplex konjugiert gedämpfte Schwingung
\(\zeta = 0\) (ungedämpft) rein imaginär ungedämpfte Schwingung

Vergleich: Fourier- und Laplace-Transformation

Eigenschaft Fourier Laplace
Frequenzvariable \(\omega\) (reell) \(s = \sigma + i\omega\) (komplex)
Integrationsbereich \((-\infty, +\infty)\) \([0, +\infty)\)
Kausalität nicht eingebaut natürlich durch \(\Theta(t)\)
Anfangsbedingungen separat zu behandeln automatisch enthalten
Konvergenz nur \(f \in L^1\) oder \(L^2\) erweitert durch \(e^{-\sigma t}\)
Stabilität nicht direkt ablesbar aus Pollagen in \(s\)-Ebene
  • Fourier: spektrale Analyse, periodische Anregungen, stationäre Prozesse
  • Laplace: Anfangswertprobleme, transiente Vorgänge, Stabilität, Regelungstechnik

Beispiel: DGL erster Ordnung

\[ \frac{dy}{dt} + ay = g(t), \quad y(0) = y_0 \]

  • Transformation: \(s Y(s) - y_0 + a Y(s) = G(s)\) – Anfangsbedingung automatisch dabei
  • Auflösen:

\[ Y(s) = \frac{G(s) + y_0}{s + a} \]

  • Rücktransformation:

\[ y(t) = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{G(s)}{s+a}\right](t) + y_0 e^{-at} \]

  • Getriebene Antwort + exponentiell abklingende homogene Lösung

Beispiel: Partialbruchzerlegung

  • Inversion von \(Y(s) = \frac{1}{(s+1)(s+2)}\) über den Ansatz:

\[ \frac{1}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2} \]

  • Multiplikation mit dem Nenner: \(1 = A(s+2) + B(s+1)\)
  • Einsetzen von \(s = -1\): \(A = 1\); Einsetzen von \(s = -2\): \(B = -1\)
  • Rücktransformation per Tabelle:

\[ y(t) = e^{-t} - e^{-2t} \]

  • Zwei Exponentialterme; für große Zeiten dominiert der langsamere (\(e^{-t}\))

Beispiel: Sprungantwort und Bode-Diagramm

Endwertsatz: stationärer Wert \(y_\infty = \lim_{s \to 0} s\, H(s)/s = 1/k\); Maximum im Bode-Diagramm = Resonanzfrequenz.

Beispiel: Pol-Nullstellen-Diagramm

Grüner Bereich (links): stabil, Beiträge klingen ab. Roter Bereich (rechts): instabil. Komplex konjugierte Pole → gedämpfte Oszillation; Abstand zur imaginären Achse = Abklingrate.

Zusammenfassung

  • Die Laplace-Transformation \(F(s) = \int_0^\infty f(t)\, e^{-st} dt\) macht aus DGLs algebraische Gleichungen – Anfangsbedingungen automatisch enthalten (\(\mathcal{L}[y'] = sY - y(0)\))
  • Die Übertragungsfunktion \(H(s) = Y(s)/U(s)\) charakterisiert ein lineares System vollständig
  • Pole bestimmen das Zeitverhalten: jeder Pol \(p_i\) erzeugt einen Beitrag \(\propto e^{p_i t}\); stabil \(\Leftrightarrow\) alle Pole in der linken Halbebene
  • Partialbruchzerlegung + Tabelle ist das zentrale Werkzeug zur Rücktransformation
  • Fourier und Laplace sind komplementär: Spektralanalyse vs. Anfangswertprobleme und Stabilitätsanalyse