Zusammenfassung

Differentialgleichungen – Kapitel 14

M. Ladecký, L. Pastewka

IMTEK, Universität Freiburg

Lernziele

Die Studierenden sollen…

  • … für eine gegebene Differentialgleichung die geeignetste analytische Lösungsmethode auswählen können.
  • … für ein gegebenes numerisches Problem den passenden Integrationsalgorithmus auswählen können.
  • … die Vor- und Nachteile verschiedener Lösungsstrategien bewerten und begründen können.

Überblick

  • Wahl der Methode hängt ab von:
    • Art der Differentialgleichung (linear/nichtlinear, Ordnung, Koeffizienten)
    • Anfangs- oder Randbedingungen
    • gewünschter Form der Lösung
  • Analytische Methoden: geschlossene Ausdrücke — nur für spezielle Klassen von DGLs
  • Numerische Methoden: universell einsetzbar — aber nur Näherungslösungen an diskreten Punkten

Lösungsstrategien: lineare DGLs

Methode Anwendungsbereich Kapitel
Separation der Variablen Lineare homogene DGLs 1. Ordnung 2
Integrierender Faktor Lineare DGLs 1. Ordnung (auch inhomogen) 2
Charakteristischer Ansatz Lineare DGLs höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten 3
Variation der Konstanten Inhomogene lineare DGLs 2, 3
Matrixmethode (Eigenwertproblem) Systeme linearer DGLs 1. Ordnung 4
Fourier-Methoden Lineare DGLs mit konstanten Koeffizienten 9
Laplace-Transformation Anfangswertprobleme mit linearen DGLs 10

Die gemeinsame Grundlage

Exponentialfunktionen sind Eigenfunktionen des Differentialoperators: \[ \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}t^n} e^{\lambda t} = \lambda^n e^{\lambda t} \]

Für \(a_n y^{(n)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = f(t)\) erscheint in allen Methoden dasselbe charakteristische Polynom: \[ P(\lambda) = a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots + a_1 \lambda + a_0 \]

  • Charakteristischer Ansatz, Fourier- und Laplace-Methoden sind drei Perspektiven auf dieselbe Struktur

Drei Perspektiven im Vergleich

Methode Variable Basis Eigenwerte/Pole
Charakteristischer Ansatz \(t\) (Zeit) \(e^{\lambda t}\) Nullstellen \(P(\lambda) = 0\): \(\lambda_i\)
Fourier \(\omega\) (Frequenz) \(e^{i\omega t}\) Pole von \(H(\omega) = 1/P(i\omega)\) bei \(\omega = -i\lambda_i\)
Laplace \(s = \sigma + i\omega\) \(e^{st}\) Pole von \(H(s) = 1/P(s)\) bei \(s = \lambda_i\)
  • Zeitverhalten und Stabilität → charakteristischer Ansatz
  • Frequenzantwort und Filter → Fourier
  • Anfangswertprobleme, Regelungstechnik → Laplace

Praktische Konsequenzen

Stabilität — äquivalente Kriterien:

  • Alle Eigenwerte: \(\text{Re}(\lambda_i) < 0\) (charakteristischer Ansatz)
  • Alle Pole von \(H(s)\) in der linken \(s\)-Halbebene (Laplace)
  • \(|H(\omega)|\) für alle \(\omega\) endlich (Fourier)

Resonanz: Pole nahe der imaginären Achse →

  • langsam abklingende Eigenschwingungen (Zeitbereich)
  • scharfe Resonanzpeaks in \(|H(\omega)|\) (Frequenzbereich)

Überlagerung: \(H\) bekannt → Lösung für beliebige Anregung durch Faltung (Zeitbereich) bzw. Multiplikation (Frequenzbereich)

Entscheidungshilfe: lineare Gleichungen

  1. Ordnung: 1. Ordnung → erst Separation prüfen, sonst integrierender Faktor
  2. Koeffizienten: konstant → charakteristischer Ansatz (einzelne Gleichungen) bzw. Matrixmethode (Systeme); variabel → Potenzreihen oder numerisch
  3. Aufgabenstellung: Anfangswertproblem (\(t \ge 0\)) → Laplace; Randwertproblem / unendlicher Bereich → Fourier
  4. Homogenität: inhomogen → integrierender Faktor, Ansatz vom Typ der rechten Seite, Laplace oder Variation der Konstanten

Lösungsstrategien: nichtlineare DGLs

Methode Anwendungsbereich Kapitel
Separation der Variablen Separable nichtlineare DGLs 1. Ordnung 2
Substitution Spezielle Formen (z. B. Bernoulli-DGL, homogene DGL) 2
Linearisierung um Gleichgewichtspunkte Analyse von Gleichgewichten und Stabilität 5, 7
Phasenraumanalyse Qualitative Analyse von Systemen (meist 2D) 5, 7
Erste Integrale / Erhaltungsgrößen Hamiltonsche Systeme; Systeme mit Symmetrien 7
Numerische Integration Alle nichtlinearen DGLs 11–13
  • Meist keine geschlossenen Lösungen → qualitative Analyse oder Numerik

Entscheidungshilfe: nichtlineare Gleichungen

  1. Exakte Lösung gewünscht? Separation oder spezielle Substitution (Bernoulli, homogen, exakt) prüfen
  2. Qualitatives Verhalten? Gleichgewichte bestimmen (\(\dot{\mathbf{y}} = \mathbf{0}\)), Linearisierung für Stabilität, Phasenraumdiagramm für globales Bild
  3. Erhaltungsgrößen? Bei mechanischen Systemen Energie, Impuls, Drehimpuls prüfen — erste Integrale reduzieren die Dimensionalität
  4. Allgemeiner Fall: numerische Integration; für lange Zeiten adaptive Schrittweite und höhere Ordnung

Numerische Integrationsverfahren

Verfahren Anwendungsbereich Kapitel
Explizites Euler (Ord. 1) Sehr einfache Probleme; Demonstration 11
Implizites Euler (Ord. 1) Steife Systeme; Stabilität wichtiger als Genauigkeit 11
Leapfrog / Störmer-Verlet (Ord. 2) Hamiltonsche Systeme; Molekulardynamik; Astronomie 11
Heun (RK2) (Ord. 2) Einfache Probleme, moderate Genauigkeit 12
Klassisches RK4 (Ord. 4) Allgemeine DGLs mit fester Schrittweite 12
RK23 (Bogacki-Shampine) (Ord. 2(3)) Moderate Genauigkeit; limitierte Ressourcen 13
RK45 (Dormand-Prince) (Ord. 5(4)) Standard-Wahl für die meisten Probleme (solve_ivp) 13

Effizienz: Ordnung zahlt sich aus

Verfahren der Ordnung \(p\) benötigt \(N \propto \epsilon^{-1/p}\) Schritte für globalen Fehler \(\epsilon\).

Beispiel: Fehler \(10^{-6}\)

  • Euler (Ord. 1): \(\approx 10^6\) Schritte → \(10^6\) Auswertungen
  • Heun (Ord. 2): \(\approx 10^3\) Schritte → \(2 \times 10^3\) Auswertungen
  • RK4 (Ord. 4): \(\approx 32\) Schritte → \(128\) Auswertungen
  • RK45 (adaptiv): typisch \(20\)–\(50\) Schritte → \(\approx 120\)–\(300\) Auswertungen

→ Höhere Ordnung kompensiert die höheren Kosten pro Schritt deutlich

Entscheidungshilfe: numerische Verfahren

  • Hamiltonsche Systeme (Energieerhaltung): Leapfrog / symplektische Verfahren
  • Steife DGLs (unterschiedliche Zeitskalen): implizite Verfahren (Radau, BDF)
  • Allgemeine nichtsteife Probleme: RK45 mit adaptiver Schrittweite (Standard)
  • Genauigkeit: niedrig → RK23/Heun; mittel → RK45; hoch → höhere Ordnung
  • Lange Integration: adaptive Schrittweite zwingend; konservative Systeme → symplektisch
  • Bibliothek: scipy.integrate.solve_ivp mit passender method

Zusammenfassung

  • Lineare DGLs: systematische analytische Methoden — Separation, integrierender Faktor, charakteristischer Ansatz, Matrixmethode, Fourier, Laplace
  • Charakteristischer Ansatz, Fourier und Laplace sind drei Perspektiven auf das charakteristische Polynom \(P\); Eigenwerte = Pole der Übertragungsfunktion
  • Nichtlineare DGLs: selten geschlossen lösbar — qualitative Analyse (Gleichgewichte, Phasenraum, Erhaltungsgrößen) oder Numerik
  • Numerik: Verfahrenswahl nach Problemtyp — symplektisch für Hamilton-Systeme, implizit für steife Probleme, sonst RK45
  • Höhere Ordnung und adaptive Schrittweite sind fast immer die effizientere Wahl