Übungsblatt 1

Dieses Übungsblatt wird nicht bewertet. Eine Abgabe ist nicht erforderlich.

Auf diesem Blatt wiederholen Sie Grundlagen aus der Mathematik. Außerdem üben Sie Python, numpy und matplotlib. Diese Werkzeuge brauchen Sie auf allen weiteren Übungsblättern. Hilfe zu den Programmieraufgaben finden Sie im Python-Tutorial.

Analytische Aufgaben

Aufgabe A1

1. Ableitungen und Integrale. Dabei ist \(i\) die imaginäre Einheit, also \(i^2 = -1\). Berechnen Sie:

   1. \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(t^2 e^{-t}\right)\)

   2. \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sin(3t)\)

   3. \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{i\omega t} \quad\) mit \(\omega \in \mathbb{R}\)

   4. \(\displaystyle \int_0^1 (2t + 1)\,\mathrm{d}t\)

   5. \(\displaystyle \int_0^{2\pi} e^{int}\,\mathrm{d}t \quad\) mit \(n \in \mathbb{Z}\) und \(n \neq 0\)

2. Komplexe Zahlen. Gegeben sind \(z_1 = 1 + 2i\) und \(z_2 = 3 - i\). Berechnen Sie \(z_1 + z_2\), \(z_1 \cdot z_2\) und den Betrag \(|z_1|\).

3. Matrizen. Gegeben sind die Matrizen \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}. \]

   1. Berechnen Sie die Determinanten von \(A\) und \(B\).
   2. Berechnen Sie die Inverse von \(A\). Warum hat \(B\) keine Inverse?
   3. Berechnen Sie die Eigenwerte von \(A\).

Programmieraufgaben

Für alle Abbildungen gelten die Regeln für Abbildungen:

• Jede Achse hat eine Beschriftung mit Einheit. Dimensionslose Größen haben keine Einheit.
• Zeigt eine Abbildung mehr als eine Kurve, braucht sie eine Legende.
• Teilabbildungen werden mit (a), (b), (c) usw. bezeichnet.

Aufgabe P1

1. Arrays erzeugen. Erzeugen Sie die folgenden Matrizen mit numpy. Schreiben Sie die Elemente nicht einzeln hin. Nützlich sind z. B. np.ones, np.diag, np.arange und reshape. \[ M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad M_3 = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 14 & 16 & 18 \end{pmatrix} \]

2. Indizierung. Geben Sie folgende Teile von \(M_3\) aus:

   1. das Element in der zweiten Zeile und dritten Spalte,
   2. die erste Spalte,
   3. die letzte Zeile.

   Achtung: In Python beginnt die Zählung bei 0.

3. Rechnen mit Arrays. Berechnen Sie M1 + M2, M2 * M3 und M2 @ M3. Was ist der Unterschied zwischen * und @? Antworten Sie in einem Satz.

4. Lineare Algebra. Nehmen Sie die Matrizen \(A\) und \(B\) aus A1.3. Berechnen Sie mit np.linalg:

   1. die Determinanten von \(A\) und \(B\),
   2. die Inverse von \(A\),
   3. die Eigenwerte von \(A\).

   Vergleichen Sie mit Ihren Ergebnissen aus A1.3. Was passiert bei np.linalg.inv(B)?

5. Funktionen und Abbildungen. Schreiben Sie eine Python-Funktion f(t). Sie soll \(f(t) = t^2 e^{-t}\) berechnen. Erzeugen Sie mit np.linspace 200 Werte für \(t\) zwischen 0 und 10. Zeichnen Sie \(f(t)\) und \(\sin(3t)\) in eine gemeinsame Abbildung. Alle Größen sind hier dimensionslos.