Kapitel 6
Funktionenräume
Kontext: Bevor wir tiefer in die numerische Lösung von partiellen Differentialgleichungen einsteigen, müssen wir hier ein leicht abstraktes Konzept einführen: Das Konzept der Funktionenräume, bzw. konkreter des Hilbertraums. Funktionenräume sind nützlich, weil sie die Reihenentwicklung formalisieren und durch das Konzept der Basisfunktionen einen einfachen Zugang zu den Koeffizienten einer Reihenentwicklung liefern.
6.1 Vektoren
Zur Einführung erinnern wir an die üblichen kartesischen Vektoren. Einen Vektor \(\v {a}=(a_0, a_1, a_2)\) können wir als Linearkombination aus Basisvektoren \(\hat {e}_0\), \(\hat {e}_1\) und \(\hat {e}_2\), \begin {equation} \v {a} = a_0 \hat {e}_0 + a_1 \hat {e}_1 + a_2 \hat {e}_2, \end {equation} schreiben. Die Einheitsvektoren \(\hat {e}_0\), \(\hat {e}_1\) und \(\hat {e}_2\) sind natürlich die Vektoren, welche das kartesische Koordinatensystem aufspannen. (In vorherigen Kapiteln wurde auch die Notation \(\hat {x}\equiv \hat {e}_0\), \(\hat {y}\equiv \hat {e}_1\) und \(\hat {z}\equiv \hat {e}_2\) genutzt.) Die Zahlen \(a_0\), \(a_1\) und \(a_2\) sind die Komponenten oder Koordinaten des Vektors, aber auch die Koeffizienten der Einheitsvektoren. In diesem Sinne sind sie identisch zu den Entwicklungskoeffizienten der Reihenentwicklung, mit dem Unterschied, dass die \(\hat {e}_i\) orthogonal sind, also \begin {equation} \hat {e}_i\cdot \hat {e}_j = \delta _{ij} \end {equation} wobei \(\delta _{ij}\) das Kronecker-\(\delta \) ist. Zwei kartesische Vektoren \(\v {a}\) und \(\v {b}\) sind orthogonal, wenn das Skalarprodukt zwischen ihnen verschwindet: \begin {equation} \v {a}\cdot \v {b} = \sum _i a_i b_i = 0 \label {eq:vecscalar} \end {equation}
Mit Hilfe der Basisvektoren und dem Skalarprodukt können wir direkt die Komponenten erhalten: \(a_i = \v {a}\cdot \hat {e}_i\). Dies ist eine direkte Konsequenz der Orthogonalität der Basisvektoren \(\hat {e}_i\).
6.2 Funktionen
Im vorhergegangen Abschnitt steht die Behauptung, dass die Basisfunktionen aus Kapitel 5 nicht orthogonal sind. Hierzu brauchen wir eine Idee für Orthogonalität von Funktionen. Mit einer Definition eines Skalarprodukts zwischen zwei Funktionen könnten wir dann Orthogonalität als Verschwinden dieses Skalarprodukts definieren.
Wir führen nun Skalarprodukt auf Funktionen(räume) ein, das diese Eigenschaften auch erfüllt. Gegeben zwei Funktionen \(g(x)\) und \(f(x)\) auf dem Interval \(x\in [a,b]\), definieren wir das Skalarprodukt als \begin {equation} (f,g) = \int _a^b \dif x\, f^*(x) g(x), \label {eq:funcscalar} \end {equation} wobei \(f^*(x)\) die komplex-konjugierte von \(f(x)\) ist. Dieses inneres Produkt oder Skalarprodukt ist eine Abbildung mit den Eigenschaften
- Positiv definit: \((f,f)\ge 0\) und \((f,f)=0\Leftrightarrow f=0\)
- Sesquilinear: \((\alpha f+\beta g,h)=\alpha ^*(f,h)+\beta ^*(g,h)\)
- Hermitesch: \((f,g)=(g,f)^*\)
Die Skalarprodukte Gl. \eqref{eq:vecscalar} und \eqref{eq:funcscalar} erfüllen beide diese Eigenschaften.
Anmerkung: Das Skalarprodukt zwischen zwei Funktionen wird oft allgemeiner mit einer Gewichtsfunktion \(w(x)\) definiert, \begin {equation} (f,g) = \int _a^b \dif x\, f^*(x) g(x) w(x). \end {equation} Die Frage nach Orthogonalität zwischen Funktionen kann damit nur respektive einer bestimmten Definition des Skalarprodukts geklärt werden. So sind z.B. die Tschebyschow-Polynome respektive der Gewichtsfunktion \(w(x)=(1-x^2)^{-1/2}\) orthogonal. Innerhalb dieser Lehrveranstaltung werden wir nur den Fall \(w(x)=1\) benötigen.
6.3 Basisfunktionen
Kommen wir nun zurück zur Reihenentwicklung, \begin {equation} f_N(x) = \sum _{n=0}^N a_n \varphi _n(x). \label {eq:series2} \end {equation} Die Funktionen \(\varphi _i(x)\) heißen Basisfunktionen. Eine notwendige Eigenschaft der Basisfunktionen ist deren lineare Unabhängigkeit. Die Funktionen sind linear unabhängig, wenn keine der Basisfunktionen selbst als Linearkombination, also in der Form der Reiheentwicklung Gl. \eqref{eq:series2}, der anderen Basisfunktionen geschrieben werden kann. D.h. es muss erfüllt sein, dass \begin {equation} \sum _{n=0}^{N}a_n \varphi _n(x) = 0 \end {equation} dann und nur dann wenn alle \(a_n=0\). Linear unabhängige Elemente bilden eine Basis.
Diese Basis heißt vollständig, wenn alle relevanten Funktionen (= Elemente des zu Grunde liegenden Vektorraums) sich durch die Reihenentwicklung \eqref{eq:series2} abbilden lassen. (Beweise der Vollständigkeit von Basisfunktionen sind komplex und außerhalb des Fokus dieser Lehrveranstaltung.) Die Koeffizienten \(a_n\) heißen Koordinaten oder Koeffizienten. Die Anzahl der Basisfunktionen bzw. der Koordinaten \(N\) nennt man die Dimension des Vektorraums.
Anmerkung: Ein Vektorraum ist eine Menge, auf der die Operationen der Addition und Skalarmultiplikation mit den üblichen Eigenschaften, wie der Existenz von neutralen und inversen Elementen und Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetzen, definiert sind. Ist dieser Raum auf Funktionen definiert, dann spricht man auch von einem Funktionenraum. Existiert zusätzlich ein Skalarprodukt wie Gl. \eqref{eq:funcscalar}, dann spricht man von einem Hilbertraum.
Besonders nützliche Basisfunktionen sind orthogonal. Mit Hilfe des Skalarprodukts können wir nun Orthogonalität für diese Funktionen definieren. Zwei Funktionen \(f\) und \(g\) sind orthogonal wenn das Skalarprodukt verschwindet, \((f, g) = 0\). Ein Satz gegenseitig orthogonaler Basisfunktionen erfüllt \begin {equation} (\varphi _n, \varphi _m) = \nu _{n} \delta _{nm}, \end {equation} wobei \(\delta _{nm}\) das Kronecker-\(\delta \) ist. Für \(\nu _n\equiv (\varphi _n, \varphi _n)=1\) heißt die Basis orthonormal.
Die Orthogonalität ist nützlich, weil sie uns einen Weg aufzeigt, mit dem wir die Koeffizienten der Reihenentwicklung \eqref{eq:series2} bekommen können: \begin {equation} (\varphi _n, f_N) = \sum _{i=0}^N a_i (\varphi _n, \varphi _i) = \sum _{i=0}^N a_i \nu _i \delta _{ni} = a_n \nu _n \end {equation} bzw. \begin {equation} a_n = \frac {(\varphi _n, f_N)}{(\varphi _n, \varphi _n)}. \label {eq:coordinates} \end {equation} D.h. die Koordinaten sind gegeben durch die Projektion (das Skalarprodukt) der Funktion auf die Basisvektoren. Wir erinnern uns daran, dass auch für kartesische Vektoren gilt: \(a_n = \v {a}\cdot \hat {e}_n\). (Der Normierungsfaktor entfällt hier, weil \(\hat {e}_n\cdot \hat {e}_n=1\).) Die Koordinaten, die durch Gl. \eqref{eq:coordinates} gegeben sind, sind in genau dem gleichen Kontext zu sehen.
6.3.1 Fourier-Basis
Ein berühmter und wichtiger Satz von Basisfunktionen ist die Fourier-Basis, \begin {equation} \varphi _n(x) = \exp \left ( i q_n x \right ), \label {eq:fourier-basis} \end {equation} auf dem Interval \(x\in [0,L]\) mit \(q_n = 2\pi n/L\) und \(n\in \mathbb {Z}\). Die Fourier-Basis ist periodisch auf diesem Interval und in Abb. 6.1 gezeigt. Es kann einfach gezeigt werden, dass \begin {equation} (\varphi _n, \varphi _m) = L \delta _{nm}, \end {equation} also dass die Fourier-Basis orthogonal ist. Die Koeffizienten \(a_n\) der Fourier-Reihe, \begin {equation} f_N(x) = \sum _{n=-N}^N a_n \varphi _n(x), \label {eq:fourierseries} \end {equation} können damit für eine Reihe \(f_N(x)\) direkt als \begin {equation} a_n=\frac {1}{L}(\varphi _n, f_N)=\frac {1}{L}\int _0^L \dif x\, f_N(x) \exp \left (-i q_n x\right ) \end {equation} bestimmt werden. Dies ist die bekannte Formel für die Koeffizienten der Fourier-Reihe. Man beachte, dass die Summe in Gl. \eqref{eq:fourierseries} von \(-N\) bis \(N\) läuft und man \(2N+1\) Koeffizienten erhält.
Anmerkung: Konzeptuell beschreibt die Fourier-Basis unterschiedliche Frequenzkomponenten, während die Basis der im nächsten Abschnitt beschriebenen finiten Elemente unterschiedliche Raumbereiche beschreibt.
6.3.2 Finite Elemente
Wir werden hier hauptsächlich mit der Basis der finiten Elemente arbeiten. Im Gegensatz zur Fourier-Basis, die auf der gesamten Domäne nur an isolierten Punkten gleich Null wird, ist die Finite-Elemente-Basis im Raum lokalisiert und für große Bereiche der Domäne Null. Sie zerlegt damit die Domäne in räumliche Abschnitte.
In ihrer einfachsten Form besteht die Basis aus lokalisierten abschnittsweise linearen Funktionen, der “Zelt”-Funktion, \begin {equation} \varphi _n(x) = \left \{ \begin {array}{ll} \frac {x-x_{n-1}}{x_n - x_{n-1}} & \text {für}\; x\in [x_{n-1},x_n]\\ \frac {x_{n+1-x}}{x_{n+1} - x_n} & \text {für}\; x\in [x_n,x_{n+1}] \\ 0 & \text {sonst} \end {array} \right . \label {eq:finite-element-basis} \end {equation} Hierbei sind die \(x_n\) die Stützstellen (auch Gitterpunkte oder Knoten - engl. “node”), zwischen denen die Zelte aufgespannt sind. Die Funktionen sind so konstruiert, dass \(\int _0^L \dif x\,\varphi _n(x)=(x_{n+1}-x_{n-1})/2\). Diese Basis ist die einfachste Form der finite Elemente-Basis und in Abb. 6.2 gezeigt. Für höhere Genauigkeit werden auch Polynome höherer Ordnung eingesetzt.
Ein wichtiger Hinweis an dieser Stelle ist, dass die Basis der finiten Elemente nicht orthogonal ist. In unserem eindimensionalen Fall verschwindet das Skalarprodukt nicht für die nächsten Nachbarn. Dies ist deshalb der Fall, weil bei zwei Nachbarn jeweils eine steigende und eine fallende Flanke überlappt. Man erhält \begin {align} M_{nn} \equiv (\varphi _n, \varphi _n) &= \frac {1}{3}(x_{n+1}-x_{n-1}) \\ M_{n,n+1} \equiv (\varphi _n, \varphi _{n+1}) &= \frac {1}{6}(x_{n+1}-x_n) \\ M_{nm} \equiv (\varphi _n, \varphi _m) &= 0 \quad \text {für}\;|n-m|>1 \end {align}
für die Skalarprodukte.
Trotzdem können wir diese Relationen nutzen, um die Koeffizienten einer Reihenentwicklung, \begin {equation} f_N(x) = \sum _{n=0}^N a_n \varphi _n(x) \end {equation} zu berechnen. Man erhält \begin {equation} \begin {split} (\varphi _n, f_N(x)) &= a_{n-1} (\varphi _n, \varphi _{n-1}) + a_n (\varphi _n, \varphi _n) + a_{n+1} (\varphi _n, \varphi _{n+1}) \\ &= M_{n,n-1} a_{n-1} + M_{nn} a_n + M_{n,n+1} a_{n+1}. \end {split} \end {equation} Dies können wir als \begin {equation} (\varphi _n, f_N(x)) = \left [ \t {M}\cdot \v {a} \right ]_n \end {equation} schreiben, wobei \([\v {v}]_n=v_n\) die \(n\)te Komponente des Vektors, welcher durch die beiden eckigen Klammer \([\cdot ]_n\) eingeschlossen wird, bezeichnet. Die Matrix \(\t {M}\) ist dünnbesetzt (engl. “sparse”). Für eine orthogonale Basis, wie beispielsweise die Fourier-Basis in Abschnitt 6.3.1, ist diese Matrix diagonal. Für eine Basis mit identischen Abständen \(x_{n+1}-x_n=1\) der Stützstellen \(x_n\) hat die Matrix die folgende Form \begin {equation} \t {M} = \begin {pmatrix} 2/3 & 1/6 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 1/6 & 2/3 & 1/6 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 1/6 & 2/3 & 1/6 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 1/6 & 2/3 & 1/6 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 1/6 & 2/3 & 1/6 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1/6 & 2/3 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end {pmatrix}. \end {equation} Um die Koeffizienten \(a_n\) zu finden, muss also ein (dünnbesetztes) lineares Gleichungssystem gelöst werden. Wir werden \(\t {M}\) später unter dem Namen Massematrix wieder treffen.
Anmerkung: Basissätze, die nur an individuellen Punkten von Null verschieden sind, nennt man spektrale Basissätze. Insbesondere ist die Fourier-Basis ein spektraler Basissatz für periodische Funktionen. Grundsätzlich bilden die orthogonalen Polynome wichtige spektrale Basissätze die auch in der Numerik Anwendung finden. So sind beispielsweise die Tschebyschow-Polynome gute Basissätze für auf abgeschlossenen Intervallen definierte nicht-periodische Funktionen. Die Basis der finiten Elemente ist keine spektrale Basis.