Übungsblatt 2

Abgabe bis 29. Oktober 2025, 14:00 als Jupyter Notebook via ILIAS.

Analytische Aufgaben

Wir wollen nun erste, einfache DGLs lösen.

Aufgabe A2 (4-4-2 Punkte)

1. Finden Sie allgemeine Lösungen für folgende lineare DGLn durch Integration:

   1. \(\dot{\mathrm{x}}(t) = 5t\)

   2. \(\dot{\mathrm{x}}(t) = \cos(t)\)

   3. \(\dot{\mathrm{x}}(t) = \mathrm{x}(t)\)

2. Was ist der Wert von \(\mathrm{x}(1)\) der Lösung der DGL \(\dot{\mathrm{x}}(t) = \mathrm{x}(t)\) mit dem Anfangswert \(x(0) = x_0 = 0\)? Was ist der Wert von \(\mathrm{x}(1)\) wenn \(x_0 = 0.01\)?

   Optional: Plotten sie \(\mathrm{x}(t)\) für die Anfangsbedingung \(x_0 = 0.01\)

3. Wir wissen, dass der Windwiderstand eines Objektes proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit mit negativem Koeffizienten \(c\) ist. Stellen Sie die Gleichung für die zeitliche Veränderung der Geschwindigkeit auf und berechnen Sie die analytische Lösung.

Programmieraufgaben

Aufgabe P2 (4-4-2 Punkte)

1. Lösen Sie wie im Tutorat gezeigt die DGL \(\dot{\mathrm{x}}(t) = 5\) numerisch mit scipy.solve_ivp im Intervall \(0 \le t \le 10\), mit \(x(0)=10\).

2. Dasselbe für \(\dot{\mathrm{x}}(t) = \mathrm{x}(t)\), \(x_0 = 0.01\) .

3. Was ist der Wert von \(x(1)\)? Speichern Sie den Wert in der Variable x_1_value und vergleichen Sie diesen mit dem zuvor von Ihnen berechneten Wert.
   Tipp: Den Index des x-Wert der am nächsten an \(1\) liegt erhalten Sie z.B. mittels
   np.abs(t_values-1.0).argmin().

4. Stellen Sie die Lösung der DGL im Intervall \(0 \le t \le 10\) mittels matplotlib grafisch dar.
   Benutzen Sie hierbei t_eval=np.linspace(t_start,t_end,10000).