Übungsblatt 9
Abgabe bis 17. Dezember 2025, 14:00 als Jupyter Notebook via ILIAS.
Analytische Aufgaben A9 (14 Punkte)
A9.1: Rechteckimpuls (7 Punkte)
Betrachten Sie den Rechteckimpuls (Box-Funktion):
\[f(t) = \begin{cases} A & \text{falls } |t| \leq \frac{\tau}{2} \\ 0 & \text{falls } |t| > \frac{\tau}{2} \end{cases}\]
wobei \(A\) die Amplitude und \(\tau\) die Impulsbreite ist.
Aufgaben: 1. Berechnen Sie die Fourier-Transformierte \(\tilde{f}(\omega)\) analytisch. 2. Drücken Sie Ihr Ergebnis mittels der sinc-Funktion aus: \(\text{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}\) 3. Beschreiben Sie die Beziehung zwischen der Impulsbreite \(\tau\) und die Breite des maximalen Peaks im Frequenzbereich.
A9.2: Sägezahnwelle (7 Punkte)
Berechnen Sie die reellen Fourier-Koeffizienten \(a_0\), \(a_n\) und \(b_n\) für:
\[f(t) = \frac{A}{T} t \qquad \text{für } t \in [0,T]\]
Verwenden Sie die Fourier-Reihe: \[f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos(n\omega_0 t) + b_n \sin(n\omega_0 t)\right)\]
wobei \(\omega_0 = \frac{2\pi}{T}\).
Formeln:
\[a_0 = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \, dt, \quad a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \cos(n\omega_0 t) \, dt, \quad b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \sin(n\omega_0 t) \, dt\]
Programmieraufgaben
Problem P9 (6 Punkte)
Überprüfen Sie Ihre analytischen Ergebnisse numerisch
- Sägezahn (6 Punkte):
- Erstellen Sie ein Sägezahnsignal mit \(A=1\), \(T=1\) Sekunde
- Rekonstruieren Sie das Signal mittels Fourier-Reihe mit \(N=1, 5, 20, 100\) Termen
- Plotten Sie das Originalsignal und die Rekonstruktionen (für \(t \in [0,3T]\))
- Berechnen Sie die Ableitung \(f'(x)\) des Sägezahnsignals analytisch und mittels der Fourier-Reihe. Plotten Sie beide Ableitungen zum Vergleich (für \(t \in [0,3T]\))