Übungsblatt 6

Author

M. Ladecký, L. Pastewka

Published

November 19, 2025

Abgabe bis 26. November 2025, 14:00 als Jupyter Notebook via ILIAS.

Analytische Aufgaben

Aufgabe A6 (4-6-6 Punkte)

Einfach gelagerter Balken Kragbalken

Durchbiegung des Balkens

Ein Balken mit Elastizitätsmodul \(E\), dem zweiten Flächenträgheitsmoment \(I\) und der Länge \(L\) steht unter einer verteilten Last \(q(x)\). Nach der Euler-Bernoulli-Balkentheorie kann die Durchbiegung eines Balkens \(w(x)\) mit der folgenden Differentialgleichung beschrieben werden:

\[ \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}\left(EI \frac{\mathrm{d}^2 w(x)}{\mathrm{d}x^2}\right)=q(x), \; \text{für alle} \; x \in [0,L]. \]

Wir betrachten eine konstante Biegesteifigkeit \(EI\) über die gesamte Balkenlänge. Die Ableitungen der Durchbiegung \(w(x)\) haben bestimmte physikalische Bedeutungen:

  • \(\theta=\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d}x}\) ist die Neigung des Balkens.
  • \(M=-EI\frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2}\) ist das Biegemoment im Balken.
  • \(V=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(EI \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2}\right)\) ist die Querkraft im Balken.

1. Allgemeine Lösung (4 Punkte)

Leiten Sie die allgemeine Lösung für eine gleichmäßige Last \(q(x) = q_0\) her. Behalten Sie die Integrationskonstanten in Ihrer Antwort bei. Sie sollen entsprechend den Randbedingungen in den folgenden Aufgaben bestimmt werden.

Hinweis: Integrieren Sie die Differentialgleichung viermal.

2. Einfach gelagerter Balken (6 Punkte)

Betrachten Sie einen einfach gelagerten Balken mit den folgenden Randbedingungen:

  • Am gelagerten Ende (\(x = 0\)): \(w(0) = 0\) (keine Durchbiegung), \(M(0) = 0\) (kein Moment)
  • Am gelagerten Ende (\(x = L\)): \(w(L) = 0\) (keine Durchbiegung), \(M(L) = 0\) (kein Moment)

Aufgaben:

  1. Wenden Sie die Randbedingungen an, um die Integrationskonstanten zu bestimmen
  2. Bestimmen Sie den Ort und die Größe der maximalen Durchbiegung

3. Kragbalken (6 Punkte)

Betrachten Sie einen Kragbalken (fest eingespannt bei \(x = 0\), frei bei \(x = L\)) mit den folgenden Randbedingungen:

  • Am festen Ende (\(x = 0\)): \(w(0) = 0\) (keine Durchbiegung), \(\theta(0) = 0\) (keine Neigung)
  • Am freien Ende (\(x = L\)): \(M(L) = 0\) (kein Moment), \(V(L) = 0\) (keine Querkraft)

Aufgaben:

  1. Wenden Sie die Randbedingungen an, um die Integrationskonstanten zu bestimmen
  2. Finden Sie die Durchbiegung am freien Ende: \(w(L)\)
  3. Finden Sie die maximale Neigung und ihre Position

Programmieraufgaben

Aufgabe P6 (4 Punkte)

Gegebene Parameter:

  • Balkenlänge: \(L= 1\) mm
  • Biegesteifigkeit: \(EI= 10^{-8}\) Nm²
  • Verteilte Last: \(q(x)= q_0 =−0.001\) N/m (gleichmäßige Abwärtslast)

Aufgaben:

  1. Zeichnen Sie die Balkendurchbiegung und das Moment für die Probleme A.6.2 und A.6.3