Übungsblatt 10

Abgabe bis 07. Januar 2025, 14:00 als Jupyter Notebook via ILIAS.

## Analytische Aufgaben

Aufgabe A10 (2+2 Punkte): Herleitung der Übertragungsfunktion eines Tiefpasses

Betrachten Sie einen nicht belasteten Tiefpass mit folgender Schaltung:

\(U_e\) beschreibt die Eingangsspannung, \(R\) den Widerstand, \(C\) die Kapazität des Kondensators und \(U_a\) die Ausgangsspannung.

Leiten Sie her:

1. Im Zeitbereich: Die Spannungs-Strom-Beziehung für den Widerstand lautet \(U_R(t) = R I(t)\), und für den Kondensator \(\dot{U}_C(t) = \frac{I(t)}{C}\) (im unbelasteten Fall). Beschreiben Sie die Beziehung zwischen Eingangsspannung \(U_e(t)\) und Ausgangsspannung \(U_a(t)\) als Differentialgleichung.

Hinweis: Sie können entweder die Lagrange-Methode oder das 2. Kirchhoffsche Gesetz (auch Maschenregel genannt) verwenden. Die Ergebnisse sollten identisch sein.

2. Im Frequenzbereich: Leiten Sie die Fouriertransformation der Differentialgleichung aus Teil 1 ab, um die Beziehung im Frequenzbereich zu erhalten. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion \(G(\omega)\) mit \[\tilde{U}_a(\omega) = G(\omega) \tilde{U}_e(\omega).\] Das Ergebnis dieser analytischen Aufgabe wird in der Programmieraufgabe benötigt.

Hinweis: Die Fourier-Transformation einer Zeitableitung ist \(\mathcal{F}\{\dot{u}(t)\} = i\omega \tilde{u}(\omega)\).

Programmieraufgaben

Aufgabe P10 (2+2+3+3+3+3 Punkte): Numerische Simulation eines Tiefpasses.

Setzen Sie \(RC = 0.1 \;\text{s}\). Verwenden Sie die periodische Eingangsspannung \(U_e(t) = \sin(2\pi\gamma t) \;\text{V}\). Betrachten Sie vier Frequenzen: \(\gamma = 1, 10, 100, 1000 \;\text{Hz}\).

1. Lösen Sie die Differentialgleichung aus A10.1 mit scipy.solve_ivp und Anfangswerte \(U_e(0)\). Stellen Sie die Eingangsspannungen \(U_e(t)\) und die Ausgangsspannungen \(U_a(t)\) als Funktion der Zeit grafisch dar.

2. Berechnen Sie die fouriertransformatierte Eingangsspannungen \(\tilde{U}_e(\omega)\). Verwenden Sie die in Aufgabe A10.2 hergeleitete Übertragungsfunktion \(G(\omega)\), um die fouriertransformatierte Ausgangsspannungen \(\tilde{U}_a(\omega)\) zu erhalten. Stellen Sie die Eingangsspannungen \(\tilde{U}_e(\omega)\) und die Ausgangsspannungen \(\tilde{U}_a(\omega)\) als Funktion der Frequenz grafisch dar.

Hinweis: Verwenden Sie das Modul numpy.fft. Die Funktionen fft, ifft,fftfreq und fftshift sollten hilfreich sein.

3. Wenden Sie die Fourier-Rücktransformation auf \(\tilde{U}_e(\omega)\) und \(\tilde{U}_a(\omega)\) an. Stellen Sie die Ergebisse gegen \(U_e(t)\) und \(U_a(t)\) aus Aufgabe P10.1 grafisch dar.

4. Wenden Sie die Fourier-Transformation auf \(U_e(t)\) und \(U_a(t)\) an. Stellen Sie die Ergebisse gegen \(\tilde{U}_e(\omega)\) und \(\tilde{U}_a(\omega)\) aus Aufgabe P10.2 grafisch dar.

5. Stellen Sie den Betrag der in Aufgabe A10.2 hergeleiteten Übertragungsfunktion \(|G(\omega)|\) als Funktion der Frequenz grafisch dar.

6. Messen Sie die Amplitude der Ausgangsspannung \(U_a(t)\) im stationären Zustand (nach ausreichend langer Zeit \(t\)). Tragen Sie diesen Wert in dieselbe Grafik wie in Aufgabe P10.5 ein.