Übungsblatt 8

Abgabe bis 10. Dezember 2025, 14:00 als Jupyter Notebook via ILIAS.

Analytische Aufgaben

(Gekoppelter elektrischer und mechanischer Oszillator)

Aufgabe A8 (4-4-4-4-4 Punkte)

Ein elektrischer Schwingkreis bestehe aus einem Kondensator mit Kapazität \(C(x)\), einem Widerstand \(R\) und einer Spule mit der Induktivität \(L\), wie in Abb. dargestellt. Am Schaltkreis werde die Spannung \(U(t)\) angelegt. Der Kondensator sei ein Plattenkondensator, dessen eine Platte die Masse \(m\) habe und über eine Feder mit Federkonstante \(k\) und einem Bremsblock mit Bremskoeffienten \(α\) mit einem festen Ankerpunkt verbunden sei.

Gehen Sie wie folgt vor:

1. Stellen Sie die Lagrange-Funktion \(\mathcal{L} = T^* + W_m^* - V - W_e\) auf, wobei:
   • \(T^*\) die kinetische Energie der beweglichen Platte ist,
   • \(W_m^*\) die magnetische Energie, die in der Spule gespeichert wird, ist,
   • \(V\) die elastische Energie in der Feder ist,
   • \(W_e\) die elektrische Energie, die im Kondensator gespeichert wird, ist.
2. Stellen Sie die Dissipationsfunktion auf.
3. Berechnen Sie die Bewegungsgleichungen mithilfe der Euler-Lagrange-Gleichungen.
4. Setzen Sie \(L = 1\) H, \(m = 1\) kg, \(k = 1\) N/m und \(R = 0{,}1\) \(\Omega\), \(\alpha = 0{,}1\) N·s/m. Das Modell für den Kondensator ist \(C(x) = (1+x)^{-1}\) F und die Anfangsbedingungen sind:
   • \(q(0) = 0\) C, \(\dot{q}(0) = 0\) A
   • \(x(0) = 0\) m, \(\dot{x}(0) = 0\) m/s
   Lösen Sie das gekoppelte Gleichungssystem numerisch für \(U(t)=0.1\sin(\omega t)\) mit \(\omega=1\) rad/s.
5. Stellen Sie die Bewegung \(x\) der Platte und den Strom \(\dot{q}\) über die Zeit grafisch dar, für \(t= 0\) bis \(100\) s.